Задача 45509 Окружность проходит через вершины C ...

slava191

28 марта 2020 г. в 16:00

Окружность проходит через вершины C и D трапеции ABCD, касается боковой стороны AB в точке B и пересекает большее основание AD в точке K. Известно, что AB = 5√3, BC = 5, KD = 10.

а) Докажите, что BD = √AD·BC

б) Найти радиус окружности.

sova

29 марта 2020 г. в 00:27

★

По свойству касательной и секущей, проведенных из точки А:
АК·KD=AB²

Пусть АК=х, тогда AD=x+10

x·(x+10)=(5√3)²
x²+10x–75=0
D=100+4·75=400
x=5; x₂ <0

AD=15

ABCK – параллелограмм, противоположные стороны BC и АК параллельны и равны ⇒ АВ=СK=5√3

Трапеция KBCD вписана в окружность, значит BK=CD
и СК=BD=5√3

BD²=AD·BC – верно, так как (5√3)²=15·5

Радиус окружности описанной около равнобедренной трапеции KBCD

Проводим высоту СM
MD=(KD–BC)/2=2,5
KM=KD–MD=7,5

СM²=KC²–KM²=(5√3)²–(7,5)²=75/4

CD²=CM²+MD²=(75/4)+(5/2)²=25
CD=5

Находим радиус окружности, описанной около Δ КСD по формуле:

R=abc/4S

S _ΔKCD=(1/2)KD·CM=25√3/2

R=5

О т в е т. 5