[m]\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{4}=1[/m] ⇒ a^2=6; b^2=4 ⇒ c^2=a^2-b^2=2
F_(2)(-sqrt(2);0); F_(1)(sqrt(2);0) - фокусы эллипса.
Если x=sqrt(2) ⇒ [m]\frac{y^2}{4}=1-\frac{2}{6}[/m] ⇒ y= ± [m]\sqrt{\frac{8}{3}}[/m]
M(sqrt(2); [m]\sqrt{\frac{8}{3}}[/m])
N(sqrt(2); [m]- \sqrt{\frac{8}{3}}[/m])
P(-sqrt(2); [m]\sqrt{\frac{8}{3}}[/m])
T(-sqrt(2); [m]- \sqrt{\frac{8}{3}}[/m])
Уравнение гиперболы:
[m]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/m]
b^2=c^2-a^2
так как фокусы эллипса и гиперболы совпадают, то с^2=2
⇒ [b]b^2+a^2=2[/b]
Подставляем координаты точки M в каноническое уравнение гиперболы:
[m]\frac{2}{a^2}-\frac{\frac{8}{3}}{b^2}=1[/m] ⇒[b] 6b^2-8a^2=3a^2b^2[/b]
Из системы уравнений:
{b^2+a^2=2 ⇒ b^2=2-a^2
{6b^2-8a^2=3a^2b^2 ⇒ 6*(2-a^2)-8a^2=3a^2*(2-a^2) ⇒
Биквадратное уравнение:
3a^4-20a^2+12=0
D=400-4*3*12=256
a^2=6 или a^2=(2/3)
b^2=2-a^2=2-6 < 0 или b^2=2-(2/3)=4/3
[m]\frac{x^2}{\frac{2}{3}}-\frac{y^2}{\frac{4}{3}}=1[/m]