Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 52474 составить каноническое уравнение...

Условие

составить каноническое уравнение гиперболы имеющих общие фокальные хорды с эллипсом x^2/6+y^2/4=1

математика ВУЗ 2865

Решение

Для эллипса:

[m]\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{4}=1[/m] ⇒ a^2=6; b^2=4 ⇒ c^2=a^2-b^2=2

F_(2)(-sqrt(2);0); F_(1)(sqrt(2);0) - фокусы эллипса.

Если x=sqrt(2) ⇒ [m]\frac{y^2}{4}=1-\frac{2}{6}[/m] ⇒ y= ± [m]\sqrt{\frac{8}{3}}[/m]

M(sqrt(2); [m]\sqrt{\frac{8}{3}}[/m])

N(sqrt(2); [m]- \sqrt{\frac{8}{3}}[/m])

P(-sqrt(2); [m]\sqrt{\frac{8}{3}}[/m])
T(-sqrt(2); [m]- \sqrt{\frac{8}{3}}[/m])


Уравнение гиперболы:

[m]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/m]
b^2=c^2-a^2

так как фокусы эллипса и гиперболы совпадают, то с^2=2
⇒ [b]b^2+a^2=2[/b]


Подставляем координаты точки M в каноническое уравнение гиперболы:
[m]\frac{2}{a^2}-\frac{\frac{8}{3}}{b^2}=1[/m] ⇒[b] 6b^2-8a^2=3a^2b^2[/b]

Из системы уравнений:
{b^2+a^2=2 ⇒ b^2=2-a^2
{6b^2-8a^2=3a^2b^2 ⇒ 6*(2-a^2)-8a^2=3a^2*(2-a^2) ⇒

Биквадратное уравнение:

3a^4-20a^2+12=0
D=400-4*3*12=256
a^2=6 или a^2=(2/3)

b^2=2-a^2=2-6 < 0 или b^2=2-(2/3)=4/3


[m]\frac{x^2}{\frac{2}{3}}-\frac{y^2}{\frac{4}{3}}=1[/m]

Написать комментарий

Категория

Меню

Присоединяйся в ВК