Задача 16742 3sinx-4cosx=3...
Условие
4944
Решение
★
cosx=cos²(x/2)–sin²(x/2);
sinx=2sin(x/2)cos(x/2);
и
1=cos²(x/2)+sin²(x/2);
3=3cos²(x/2)+3sin²(x/2).
Уравнение примет вид
3*2*sin(x/2)cos(x/2)-4*(cos²(x/2)-sin^2(x/2))=
=3*(cos²(x/2)+sin^2(x/2))
sin^2(x/2) +6*sin(x/2)cos(x/2)-7cos^2(x/2)=0 - однородное тригонометрическое уравнение. Делим на cos²(x/2)≠0.
tg²(x/2)+6tg(x/2)-7=0.
D=6^2-4*(-7)=36+28=64
tg(x/2)=-7 или tg(x/2)=1
x/2=arctg(-7)+πk, k∈Z.
x=-2arctg7 +2πk, k∈Z.
или
(х/2)=(π/4)+πn, n∈Z
x=(π/2)+2πn, n∈Z
О т в е т. -2arctg7 +2πk;(π/2)+2πn, k, n∈Z