Задача 32142 Найдите все значения параметра k при...

slava191

2018-12-19 18:18:55

Найдите все значения параметра k при каждом из которых уравнение (2(k+1)cost-k)/(sint+cost) = 2 имеет хотя бы одно решение на отрезке [Pi/2; Pi]

sova

2018-12-19 19:02:44

★

Графический способ.

Перепишем уравнение в виде:
2(k+1)cost - k =2sint + 2cost; sint + cost ≠ 1 ⇒ [b]t≠3π/4[/b]

2(k+1)cost - k =2sint + 2cost;

2kcost - k = 2sint

k*(2cost -1)=2sint

[b]k=2sint/(2cost-1)[/b]

Cтроим график

y=2sint/(2cost-1); cost ≠ 1/2


Исследуем функцию

y=2sint/(2cost-1);

y`=(2cost*(2cost-1)-2sint*(-2sint))/(2cost-1)^2;

y`=(4cos^2t-2cost+4sin^2t)/(2cost-1)^2;

y`=(4-2cost)/(2cost-1)^2;

y`> 0 при любом t области определения D(y)

Значит функция строго возрастает на[b][π/2;3π/4)[/b] и на [b](3π/4;π][/b]

Уравнение

k=2sint/(2cost-1)

имеет ровно одно решение на [π/2;3π/4) U (3π/4;π]

y(π/2)=-2
y(3π/4)=sqrt(2)/(-sqrt(2)-1)=sqrt(2)-2
y(π)=0

О т в е т. -2 ≤ k < sqrt(2)-2; sqrt(2)-2< k ≤ 0