Задача 37987 ...

yuni

5 июня 2019 г. в 22:14

Дана функция z = f(x,y)

Найти: 1) полный дифференциал dz

2) частные производные второго порядка ∂²z/∂x², ∂²z/∂y²

3) убедиться в том, что ∂²z/∂x∂y = ∂²z/∂y∂x

sova

5 июня 2019 г. в 22:35

dz=z`<sub>x</sub>dx+z`_ydy

z`<sub>x</sub>=(x<sup>2</sup>·y<sup>2</sup>)`_x=

при этом y – константа

=y²·(x²)`_x=y²·(2x)=2xy²

z`<sub>y</sub>=(x<sup>2</sup>·y<sup>2</sup>)`_y=


при этом х – константа

=x²·(y²)`_y=x²·(2y)=2x²y

О т в е т.
dz=2xy²·dx+2х²y·dy


2) ∂²z/ ∂ x²=(z`<sub>x</sub>)`_x=(2xy²)`<sub>x</sub>=(2y<sup>2</sup>)·(x)`_x=2y²·1=2y²

∂²z/ ∂ y²=(z`<sub>y</sub>)`_y=(2х²у)`<sub>y</sub>=(2x<sup>2</sup>)·(y)`_y=2x²·1=2x²


3)
∂²z/ ∂ y ∂ x=(z`<sub>x</sub>)`_y=(2xy²)`<sub>y</sub>=2x·(y<sup>2</sup>)`_y=2x·(2y)=4xy

∂²z/ ∂ x ∂ y=(z`<sub>y</sub>)`_x=(2х²y)`<sub>x</sub>=(2y)·(x<sup>2</sup>)`_x=(2y)·(2x)=4xy

равны, что и требовалось доказать