Задача 37140 решите уравнение 2^(-|x|)=1/(2sqrt(2))...

nastya11

2019-05-16 20:19:36

решите уравнение

2^(-|x|)=1/(2sqrt(2)) *(|x+1|+|x-1|)

sova

2019-05-16 20:29:42

★

Подмодульные выражения обращаются в 0 в точках
х=-1; х=0; х=1

Эти точки разбивают числовую прямую на 4 интервала.

Раскрываем модуль на каждом из четырех интервалов:
(1)
[b](- ∞ :-1][/b]

|x|=-x
|x+1|=-x-1
|x-1|=-x+1
Уравнение принимает вид:

[b]2^(x)=(1/2sqrt(2))*(-x-1-x+1)[/b]
2sqrt(2)*2^(x)=-2x
2^(x+(1/2))=-x
Решаем графически.
(см. рис.1)
единственная точка пересечения, одна кривая возрастает, вторая - прямая убывает.
х= - 0,808 ∉ (- ∞ :-1]
Уравнение не имеет корней на этом интервале
(2)
[b](-1;0][/b]
|x|=-x
|x+1|=x+1
|x-1|=-x+1
Уравнение принимает вид:

[b]2^(x)=(1/2sqrt(2))*(x+1-x+1)[/b]
2sqrt(2)*2^(x)=1
2^(x+(1/2))=1
Решаем графически.
(см. рис.2)
единственная точка пересечения, одна кривая возрастает, вторая -
константа

[b]x=-0,5 - корень, принадлежит интервалу (-1;0][/b]

(3)

[b](0;1][/b]

|x|=x
|x+1|=x+1
|x-1|=-x+1
Уравнение принимает вид:
[b]2^(-x)=(1/2sqrt(2))*(x+1-x+1)[/b]
sqrt(2)*2^(-x)=1

Решаем графически.
(см. рис.3)
единственная точка пересечения, одна кривая убывает, вторая -
константа

[b]x=0,5 - корень, принадлежит интервалу (0;1][/b]

(4)
[b](1;+ ∞ )[/b]

|x|=x
|x+1|=x+1
|x-1|=x+1
Уравнение принимает вид:
[b]2^(-x)=(1/2sqrt(2))*(x+1+x-1)[/b]
sqrt(2)*2^(-x)=х

Решаем графически.
(см. рис.4)
единственная точка пересечения, одна кривая убывает, вторая - прямая( возрастает)


x=0,808 не принадлежит интервалу(1;+ ∞ )

Уравнение не имеет корней на этом интервале

О т в е т. [b] ± 0,5 [/b]