Задача 44828 15-го декабря планируется взять кредит в...
Условие
— 1–го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2–го по 14–е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15–го числа каждого месяца с 1–го по 10–й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15–е число предыдущего месяца;
— к 15–му числу 11–го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какой долг будет 15–го числа 10–го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1231 тысячи рублей?
Решение
(1000 – X) тыс. руб. будет выплачено за 10 месяцев
Делим на 10:
[m]\frac{1000-X}{10}[/m] тыс руб – ежемесячное погашение основного долга
таким образом с15–го числа каждого месяца с 1–го по 10–й долг будет на одну и ту же сумму меньше долга на 15–е число предыдущего месяца, а именно на [m]\frac{1000-X}{10} [/m]
И каждый месяц выплата процентов на остаток
За первый месяц проценты составят:
0,03·1000 тыс руб=30 тыс руб.
За второй месяц.
Сумма долга уменьшится на [m]\frac{1000-X}{10} [/m] и остаток долга составит:
(1000 – [m]\frac{1000-X}{10} [/m] =[m]\frac{9\cdot 1000+X}{10}[/m] тыс руб
Проценты на остаток:
0,03· [m]\frac{9\cdot 1000+X}{10}[/m] тыс руб
За третий месяц
Сумма долга опять уменьшится на [m]\frac{1000-X}{10} [/m] и остаток долга составит:
1000 – [m]\frac{1000-X}{10} [/m]– [m]\frac{1000-X}{10} [/m]=[m]\frac{8\cdot 1000+X}{10}[/m] тыс руб
Проценты на остаток:
0,03· [m]\frac{9\cdot 1000+X}{10}[/m]
и так далее
За 10–й месяц долг:
[m]\frac{1000+X}{10}[/m] тыс руб
Проценты на остаток:
0,03· [m]\frac{1000+X}{10}[/m] тыс руб
За 11–й месяц остаток Х
Проценты на этот остаток: 0,03·X тыс руб
Сумма выплат 1231 состоит из взятого кредита 1000 ( деленного на равные части 10 месяцев и Х) и начисленных процентов.
Выплата процентов составит:
1231–1000=231 тыс руб.
Составляем уравнение:
30+ 0,03· [m]\frac{9\cdot 1000+X}{10}[/m]+0,03·[m]\frac{8\cdot 1000+X}{10}[/m] + ... +0,03· [m]\frac{1000+X}{10}[/m] + 0,03X=231
0,03· ( [m]\frac{9\cdot 1000+X}{10}+\frac{8\cdot 1000+X}{10} + ... +\frac{1000+X}{10}[/m] ) + 0,03X=201
Применяем формулу суммы n членов арифметической прогрессии:
(X/10)+(2Х/10)+... +(9Х/10)=(1/10)·(Х+9Х)·9/2)=4,5Х
(9·1000/10 + 8·1000/10 + ... + 1000/10)=(1/10)·(1000+9000)·9/2=45
0,03·(4500+4,5Х)+0,03Х=201
0,165·Х=66
X=400
О т в е т. 400 тыс руб.
Второй способ.
Кредит на 11 месяцев.
1) условие
–1–го числа каждого месяца долг увеличивается на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца
См первый столбик ( начисление процентов на долг)
2) условие
– со 2го по 14–е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;
и так, чтобы
выполнялось условие
3) условие
15–го числа каждого месяца с 1–го по 10–й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15–е число предыдущего месяца;
Это показано в правом столбце таблицы
4) долг в конце 10–го месяца неизвестен.
Обозначим его А тыс руб.
Решаем задачу, так называемым "методом решения задачи с конца"
Пусть долг ежемесячно уменьшается на одну и ту же величину х тыс руб
Тогда в конце 10–го месяца он составит (A+х) тыс руб
В конце 9–го месяца долг составит (A+2х) тыс. руб
.....
В конце первого месяца от будет (A+9x) тыс руб
И поскольку согласно условия 3) долг и за 1–ый месяц уменьшился на х тыс. руб, то значит
[/b] сумма кредита составляет (A+10х) тыс руб
В первом столбце показано как начисляют проценты.
Проценты начисляют [/b] на остаток долга[/b]
Поэтому за 1–ый месяц проценты начислены на весь кредит.
3%=0,03
0,03·(A+10x) тыс руб – проценты, начисленные за первый месяц
Клиент выплачивает со 2–го по 14–е число первого месяца :
(0,03·(A+10x)+ x )тыс. руб
При таких выплатах остаток долга уменьшится на х тыс. руб.
Цикл повторяется 10раз
Уравнение:
0,03·(А+10x)+x+ 0,01·(А+9x)+x+0,03·(А+8x)+x+...+0,03·(А) +А=1231
0,03·(11А+10x+9x+...+x)+10·x+А=1231
10x+A=1000 (это cумма кредита) ⇒ 10·x=1000–A
0,03·(11A)+0,03·(10x+9x+...+x)=231
в скобках сумма 10–ти членов арифметической прогрессии
0,03· (11A)+0,03(10х+х)·10/2=231
0,33A+0,03·11·10·x/2=231
Но 10·х=1000–A
0,33А+0,165·(1000–А)=231
0,165·А=231–165
0,165·А=66
A=400 тыс руб.
О т в е т. 400 тыс руб.
