Задача 13267 Решить неравенство:...

slava191

28.01.2017

Решить неравенство: [(x+4)sqrt(10-x)*log(2-sinx)(x+5)] / (x+2) больше или равно 0

SOVA

29.01.2017

★

ОДЗ:
{10-x больше или равно 0 ⇒ x меньше или равно 10;
{x+5 > 0 ⇒ х > - 5;
{x+2 ≠0 ⇒ x ≠-2;
{2-sinx > 0 - верно при любом х;
{2-sinx≠ 1 ⇒ sinx ≠1 ⇒ sinx ≠ (π/2)+2πk, k∈Z

ОДЗ: х∈(-5; -3π/2)U(-3π/2;-2)U(-2;π/2)U(π/2;5π/2)U(5π/2;10].

Так как при x∈ОДЗ
sqrt(10-x) больше или равно 0, то
рассматриваем два случая
1)
Если log_(2-sinx)(x+5) больше или равно 0, то (x+4)/(x+2) больше или равно 0
Применяем метод рационализации логарифмических неравенств, решаем систему:
{(2-sinx-1)*(x+5-1) больше или равно 0,
{(x+4)/(x+2) больше или равно 0

{(1-sinx)*(x+4) больше или равно 0,
{(x+4)/(x+2) больше или равно 0

1а)
{x+4 больше или равно 0;
{1-sinx больше или равно 0 ⇒ sinx меньше или равно 1;
{x+2 > 0
С учетом ОДЗ:
{-4}U(-2;π/2)U(π/2;5π/2)U(5π/2;10].
или
1б)
{x+4 меньше или равно 0;
{1-sinx больше или равно 1 ⇒sinx=1 не входит в ОДЗ;
{x+2 < 0
Система 1б) не имеет решений.


2)
Если log_(2-sinx)(x+5) меньше или равно 0, то (x+4)/(x+2) меньше или равно 0

{(2-sinx-1)*(x+5-1) меньше или равно 0,
{(x+4)/(x+2) меньше или равно 0

{(1-sinx)*(x+4) меньше или равно 0,
{(x+4)/(x+2) меньше или равно 0

2a)
{x+4 меньше или равно 0 ⇒ x меньше или равно 4;
{1-sinx больше или равно 0;
{x+2 > 0 ⇒ x > -2.
cистема не имеет решений
2б)
{x+4 больше или равно 0 ⇒ x меньше или равно 4;
{1-sinx меньше или равно 0⇒ sinx=1 ,но sinx=1 не входит в ОДЗ;
{x+2 < 0.
система не имеет решений.
О т в е т. {-4}U(-2;π/2)U(π/2;5π/2)U(5π/2;10].