Задача 26931 16. Касательная в точке А к описанной...

slava191

29 апреля 2018 г.

16. Касательная в точке А к описанной окружности треугольника АВС пересекает прямую ВС в точке Е, AD – биссектриса треугольника АВС.

А) Докажите, что АЕ=ЕD

Б) Известно, что точка Е лежит на луче СВ и СЕ=9, ВЕ=4, cos AED = 9/16. Найдите расстояние от вершины В до прямой АС.

SOVA

30 апреля 2018 г.

а)
∠ АСB – вписанный в окружность, он измеряется половиной дуги АС.
∠ ЕАB – угол между касательной АЕ и хордой АВ, измеряется половиной дуги АС.
Значит ∠ АСB= ∠ ЕАB= α.

∠ СAD= ∠ BAD = β ( АD биссектриса ∠ ВАС)

∠ ЕАD= ∠ЕАВ + ВAD= α + β
∠ АDE=∠ DАВ+ ∠СAD=α + β ( внешний угол треугольника АСD.
∠ ЕАD=∠ АDE=α + β

Значит треугольник ЕАD равнобедренный,
АЕ=ЕD.

б)
CE·BE=AE² – произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной
9·4=AE²
AE=6
По теореме косинусов из треугольника АВЕ
АВ²=АЕ²+BE²–2·AE·BE·cos∠ AEB=6²+4²–2·6·4·(9/16)=52–27=25
AB=5

По теореме косинусов из треугольника АCЕ
АC²=АЕ²+CE²–2·AE·CE·cos∠ AEB=6²+9²–2·6·9·(9/16)=117–(243/4)=225/4
AC=15/2=7,5
Треугольник АВС равнобедренный
АВ=ВС=5
ВК ⊥ АС
Высота ВК равнобедренного треугольника одновременно и медиана.
АК=КС=15/4
По теореме Пифагора
ВК²=AB²–AK²=5²–(15/4)²=(400–225)/16=175/16
h=BK=5√7/4
О т в е т. 5√7/4