a^2ctg^2x-9а+a^2=4a*sinx
имеет хотя бы один корень.
[m]a^{2}\cdot \frac{cos^2x}{sin^2x}-9a+a^2=4a\cdot sinx[/m]
[m]a^{2}\cdot \frac{1-sin^2x}{sin^2x}-9a+a^2=4a\cdot sinx[/m]
[m]a^{2}\cdot \frac{1}{sin^2x}- a^2-9a+a^2=4a\cdot sinx[/m]
[m]a^{2}\cdot \frac{1}{sin^2x}-9a=4a\cdot sinx[/m]
[m]4asin^3x+9asin^2x-a^2=0[/m]
при а=0 верно при любом х, таком, что sinx ≠ 0
[m]4sin^3x+9ain^2x=a[/m]
Обозначим
[m]sinx=t[/m]
Так как |sinx| ≤ 1, то требуется [i]найти значение а[/i], при котором уравнение:
a=4t^3+9t^2 [red] (#)[/red]
имеет хотя бы одно решение на [-1;1]
Решаем графически.
Строим [blue]кривую y=4t^3+9t^2[/blue]
Находим производную
[m]y`=12t^2+18t[/m]
y`=0
[m]12t^2+18t=0[/m]
[m]6t\cdot (2t+3)=0[/m]
t=0 и t=-3/2 - [i]точки возможного экстремума.[/i]
Применяем [i]достаточное условие экстремума[/i].
Знак производной
__+__ (-3/2) __-__ (0) _+___
x=0- [i]точка минимума.[/i]
y(0)=0
y(-1)=-4+9=5
y(1)=4+9=13
Строим график и по рисунку находим, что при a ∈ [0;13] уравнение [red](#)[/red] имеет хотя бы одно решение, а значит и данное уравнение имеет хотя бы одно решение
О т в е т. [0;13]