Задача 22986 ...

900550160

29.01.2018

Окружность, проходящая через вершины A и C
треугольника ABC , пересекает стороны AB и CB
в точках Q и P соответственно. Биссектриса угла ABC пересекает отрезок AP в точке E и отрезок CQ – в точке F . Найдите отношение AE÷CF,если QF=4; PE=11.

SOVA

29.01.2018

★

Четырехугольник AQPC вписан в окружность, суммы противолежащих углов равны 180 градусов.
∠ ВАС+ ∠ QPC=180^(o)
Углы
∠ BPQ и ∠ OPC - смежные, их сумма 180 градусов.
Поэтому ∠ ВАС= ∠ BPQ
Аналогично
∠ ВСА= ∠ BQР

Треугольник АВС и AQP подобны по двум углам.
АС:QP=AB:BP=BC:BQ

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
Поэтому
AE:EP=AB:BP(=AC:QP)
и
FC:QF =BC:BQ(=AC:QP)

AE:EP=FC:QF (меняем местами средние члены пропорции)
AE:FC=EP:QF=11:4
О т в е т. 11:4