Задача 52446 Решите следующие дифференциальные...

khasanov

15 июня 2020 г. в 10:28

Решите следующие дифференциальные уравнения
для t > 0 y"(t)+4y(t) = 8e^2t , y(0)= 0, y'(0)=3.

sova

15 июня 2020 г. в 14:55

★

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:
k²+4=0

k₁=–2i; k₂=2i– корни комплексные сопряженные

Общее решение однородного имеет вид:
y_одн.=С₁sin2t+C₂cos2t

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_част=Ae^2t

Находим производную первого, второго порядка и подставляем в данное уравнение:

y`_част=2Ae^2t

y``_част=4Ae^2t

4Ae^2t+4·(Ae^2t)=8e^2t

8A=8

A=1

y_част=e^2t

Общее решение :
у=y_одн.+y_част= С₁sin2t+C₂cos2t+e^2t


Решение задачи Коши:
По условию:
y(0)=0
Подставляем в общее решение:
0=С₁·0+С₂·1+1

С₂=–1

Находим производную:

y`=2C₁cos2t–2C₂sin2t+2e^2t

По второму условию

y`(0)=3

3=2C₁–2C₂·0+2·1

C₁=1/2

у_Коши= (1/2)sin2t–cos2t+e^2t