Задача 36655 1)найти общее решение линейного ДУ 1-го...

masha146adc

2019-05-01 20:28:36

1)найти общее решение линейного ДУ 1-го порядка : xy’-2y=x^2cosx
2)определить тип ДУ 1-го порядка и решить задачу коши: y’-y^2(x+1)=0, y(2)=1

sova

2019-05-01 20:35:14

★

1)
Делим на х
y`-(2/x)y=x^2*cosx (#)

Решаем однородное:

y`-(2/x)y=0

Это уравнение с разделяющимися переменными

dy/y=2dx/x


∫ dy/y= 2∫ dx/x
ln|y|=2ln|x|+ lnC

y=Cx^2

Метод вариации

y=C(x)*x^2

y`=C`(x)*x^2+2*C(x)*x

Подставляем в неоднородное (#) :

C`(x)*x^2+2*C(x)*x-(2/x)*C(x)*x^2=x^2*cosx

C`(x)*x^2=x^2*cosx

C`(x)=cosx

C(x)= ∫ cosxdx=-sinx+C

y=(-sinx+C)*x^2

[b]y=-x^2*sinx+C*x^2[/b]

2)
y’–y ^2(x+1)=0

dy/dx=y^2*(x+1)

Это уравнение с разделяющимися переменными


dy/y^2=(x+1)dx

∫ dy/y^2= ∫ (x+1)dx

-1/у = (x^2/2)+x + C - [b] общее решение[/b]


y(2)=1

-1/1=(2^2)/2+2+C

C=-5

-1/у = (x^2/2)+x -5 - [b] частное решение[/b]