Задача 35827 ...

vk417586654

14 апреля 2019 г. в 13:17

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=x²–xy+y в замкнутой области |x|<=2, |y|<=3.

sova

14 апреля 2019 г. в 20:34

★

z`<sub>x</sub>=2x–y
z`_y=–x+1

{2x–y=0
{–x+1=0 ⇒ x=1
y=2x=2
(1;2) – внутренняя точка указанной области

z``<sub>xx</sub>=2
z``_yy=0
z``(xy)=–1
Δ=AB–С²=2·0–(–1)·(–1)<0

(1:2) не является точкой экстремума.

На границах:

x=–2
z=(–2)²–(–2)y+y
z=3y+4 функция одной переменной, возрастающая на [–3;3]
при y=–3 наименьшее значение z=–5
при y=3 наибольшее значение z=13

x=2
z=(2)²–2y+y
z=–y+4 функция одной переменной, убывающая на [–3;3]
при y=–3 наибольшее значение z=7
при y=3 наименьшее значение z=1


y=–3
z=x²–x·(–3)+(–3)
z=x²+3x–3 – квадратичная функция одной переменной
рассматриваем ее на [–2;2]

z`=2x+3
z`=0
x=–3/2 – точка минимума

при x=–3/2 наименьшее значение z=(9/4)–(9/2)–3= –21/4

при x=–2
z=4–6–3= –5
при х=2
z=4+6–3= 7

y=3
z=x²–3x+3

z`=2x–3
z`=0
x=3/2 наименьшее значение z=(9/4)–(9/2)+3= 3/4

при х=–2
z=4+6+3= 13

при х=2
z=4–6+3= 1

Выбираем наибольшее и наименьшее:

z(–2;3)=13 – наибольшее
z(–3/2;–3)=–21/4 – наименьшее