Задача 28420 Z= 3x^2 y + y^3 - 12x -15y +3 ...
Условие
Все решения
z`_(x)=6xy-12
z`_(y)=3x^2+3y^2-15
Находим стационарные точки
{z`_(x)=0
{z`_(y)=0
{6xy-12=0 ⇒ xy=2
{3x^2+3y^2-15=0 ⇒ x^2+y^2=5
Умножаем первое уравнение на 2 и складываем
x^2+2xy+y^2=9
(x+y)^2=9
Умножаем первое уравнение на (-2) и складываем
(x-y)^2=1
{x-y=1
{x+y=3
или
{x-y=-1
{x+y=3
{x-y=1
{х+y=-3
или
{x-y=-1
{x+y=-3
Система имеет 4 решения
(2;1) ; (1;2); (-1;-2); (-2;-1)
z``_(xx)=6y
z``_(yy)=6y
z``_(xy)=z``_(yx)=6x
Для каждой точки считаем частные производные второго порядка в этой точке
(2;1)
А=z``_(xx)=6*1=6
В=z``_(yy)=6*1=6
С=z``_(xy)=z``_(yx)=6*2=12
АВ-C^2 < 0
в точке (2;1) нет экстремума.
(1;2)
А=z``_(xx)=6*2=12
В=z``_(yy)=6*2=12
С=z``_(xy)=z``_(yx)=6*1=6
АВ-C^2 > 0
A > 0
(1;2) - точка минимума
(-1;-2)
А=z``_(xx)=6*(-2)=-12
В=z``_(yy)=6*(-2)=-12
С=z``_(xy)=z``_(yx)=6*(-1)=- 6
АВ-C^2 > 0
A < 0
(-1;-2) - точка максимума
(-2;-1)
А=z``_(xx)=6*(-1)=-6
В=z``_(yy)=6*(-1)=-6
С=z``_(xy)=z``_(yx)=6*(-2)=-12
АВ-C^2=36-144 < 0
в точке (-2;-1) - нет экстремума