Задача 34189 а) Решите уравнение 3-2cos^2x+3sin(x-Pi)...

vk295929291

4 марта 2019 г. в 22:06

а) Решите уравнение 3–2cos²x+3sin(x–π) = 0

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [7π/2; 11π/2)

sova

4 марта 2019 г. в 22:59

★

По свойству нечетности синуса:
sin(x–π)=–sin(π–x)

По формулам приведения
sin(π–x)=sinx

sin(x–π)=–sinx

Так как
cos²x=1–sin²x

Уравнение принимает вид:
1+2sin²x–3sinx=0

2sin²x–3sinx+1=0
D=9–4·2·1=1

sinx=1/2 ⇒ x=(–1)^k·(π/6)+πk, k ∈ Z

sinx=1 ⇒ x=(π/2)+2πn, n ∈ Z

О т в е т.
а) (–1)^k·(π/6)+πk, k ∈ Z; (π/2)+2πn, n ∈ Z
б)
x=(–1)^k·(π/6)+πk, k ∈ Z
удобно записать в виде серии двух ответов:
при k=2m получим x=(π/6)+2πm, m ∈ Z
при k=2m+1 получим x=(–π/6)+π+2πm=(5π/6)+2πm, m ∈ Z

Тогда корни, принадлежащие указанному отрезку:
х₁=(π/6)+4π=25π/6;
х₂=(5π/6)+4π=29π/6;
х₃=(π/2)+4π=(9π/2)