Задача 28704 ...

vk291918877

27 июня 2018 г.

10 Билет
2) y' – y · tg (x) = cos (x) · y²
3) Решить интеграл ∫ 1 / √(3x² – 4x + 3)

SOVA

27 июня 2018 г.

(1/y²)y`–(1/y)tgx=cosx

Решаем однородное уравнение:
(1/y²)y`–(1/y)tgx=0
Это уравнение с разделяющимися переменными
dy/y=dxtgx
Интегрируем
∫ dy/y=– ∫ d(cosx)/cosx
ln|y|=–ln|cosx|+lnC
y=C/cosx

Применяем метод вариации произвольной постоянной
y(x)=C(x)/cosx
y`(x)=(C`(x)·cosx–C(x)·(cosx)`)/cos<sup>2</sup>x
y`=(C`(x)·cosx+C(x)·sinx)/cos²x

Подставляем y и y` в данное уравнение

((C`(x)·cosx+C(x)·sinx)/cos²x)–(C(x)/cosx)·tgx=

=cosx·(C²(x)/cos²x)

C`(x)/cosx=C²(x)/cosx

C`(x)=C²(x)

dC(x)/C²(x)=dx

Интегрируем

–1/С(x)=x+c

C(x)=–1/(x+c)

О т в е т. y=–1/((x+c)·cosx) – общее решение данного уравнения

2.
Выделяем полный квадрат
3·(x²–(4/3)x+1)=3·((x–(2/3))²+(5/9))

Замена переменной
x–(2/3)=t
dx=dt

∫ dx/√3x²–4x+3= ( 1/√3)· ∫ dt/√t²+(5/9)=

=(1/√3)·ln|t+ √t²+(5/9)|+C=

=(1/√3)·ln|(x–2/3)+√x²–(4/3)x+1|+C