Задача 34213 ...

vk236043726

5 марта 2019 г. в 20:23

Решить неравенство log²₃(–log₃x)+log₃log²₃x ≤ 3

sova

5 марта 2019 г. в 20:38

Тема. Логарифмические неравенства.
(повышенной трудности)

ОДЗ:
{x>0
{– log₃x > 0 ⇒ log₃x < 0 ⇒

0 < x < 1

По свойству логарифма степени
log₃t²=2log₃|t|
t=log₃x

Так как согласно ОДЗ:
log₃x < 0,
| log₃x| = – log₃x
поэтому
log₃log²₃x=log₃(log₃x)²=2log₃|log₃x|=

=2log₃(–log₃x)

Неравенство принимает вид

log²₃(–log₃x) +2log₃(–log₃x) ≤ 3

log²₃(–log₃x) +2log₃(–log₃x) – 3 ≤ 0 ( #)

Квадратное неравенство
D=4+12=16
корни
–3 и 1

Решение квадратного неравенства (#):
–3 ≤ log₃(–log₃x) ≤ 1

1=log₃3


–3·log₃3 ≤ log₃(–log₃x)≤ 1· log₃3

–3·1=–3log₃3=log₃3^–3

log₃3^–3 ≤ log₃(–log₃x)≤ log₃3

Логарифмическая функция с основанием 3 возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента
3^–3 ≤(–log₃x)≤ 3

(1/27) ≤ (–log₃x)≤ 3

Умножаем на (–1), знак неравенства меняется на противоположный

–3 ≤ log₃x ≤ (–1/27)

–3·log₃3 ≤ log₃x ≤ (–1/27)·log₃3

log₃3^–3 ≤ log₃x ≤ log₃3^–1/27

Логарифмическая функция с основанием 3 возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента

(1/27) ≤ x ≤ 3^–1/27 входит в ОДЗ, так как

3^–1/27 < 1 ( см. рис.)


о т в е т. [1/27;3^(–1/27]