Задача 27309 ...

u18510310834

10.05.2018

log^2_x+2(x-
18)^2+32≤16log_x+2(36+16x-x^2)

SOVA

29.05.2018

ОДЗ:
{x+2 > 0 ⇒ x > -2
{x+2 ≠ 1 ⇒ x ≠ -1
{(x-18)^2 > 0 ⇒ x - любое, кроме х=18
{36+16x-x^2 > 0 ⇒ D=400; корни - 2 и 18 ⇒ x ∈ (-2;18)
ОДЗ: х ∉ (-2;-1)U(-1;18)

36+16x-x^2=(18-x)(x+2)
log_(x+2)(18-x)(x+2)=log_(x+2)(18-x)+log_(x+2)(x+2)=
log_(x+2)(18-x)+1

log_(x+2)(x-18)^2=log_(x+2)(18-x)^2=2log_(x+2)|18-x|=
в условиях ОДЗ=2log_(x+2)(18-x)
Здесь можно потерять 2 при возведении в квадрат.
Надо быть внимательным.
Лучше выполнить
[b]замену переменной[/b]
log_(x+2)(18-x)=t
Неравенство примет вид:
(2t)^2+32 меньше или равно 16*(t+1)
4t^2-16t+16 меньше или равно 0
t^2-4t+4 меньше или равно 0
(t-2)^2 меньше или равно 0
Так как
(t-2)^2 больше или равно 0 при любом t
Неравенство имеет единственное решение t=2

log_(x+2)(18-x)=2
18-x=(x+2)^2

x^2+4x+4+x-18=0
x^2+5x-14=0
D=25-4*(-14)=25+56=81
x_(1)=-7 или х_(2)=2

х_(1) не принадлежит ОДЗ
О т в е т. 2