Задача 21304 Найдите степень многочлена P(x) и сам...

vk405365276

18.12.2017

Найдите степень многочлена P(x) и сам этот многочлен, если известно, что (x^6+1)*P(x)=P(x^4)+2x^2. НУЖНО ИМЕННО РЕШЕНИЕ))

SOVA

18.12.2017

★

Пусть P(x)=a_(n)x^n+a_(n-1)x^(n-1) +... + a_(o)
-многочлен степени n

P(x^4)=a*(x^4)^n+ ... + a_(o) - многочлен степени 4n

(x^6+1)·P(x) - многочлен степени (n+6)

Два многочлена (x^6+1)·P(x) и P(x^4)+2x^2 равны, если их степени равны.
n+6=4n
3n=6
n=2

Значит P(x) = ax^2+bx+c
(x^6+1)·P(x)=ax^8+bx^7+cx^6+ax^2+bx+c

P(x^4)=ax^8+bx^4+c
P(x^4)+2^x2=ax^8+bx^4+2x^2+c

ax^8+bx^7+cx^6+ax^2+bx+c=ax^8+bx^4+2x^2+c

Два многочлена равны, если степени их равны и коэффициенты при одинаковых степенях переменной равны.
Например, при x^2
слева а, справа 2
a=2

b=0
c=0

О т в е т. P(x)=2x^2
(x^6+1)·2x^2=2(x4)^2+2x^2 - верно