Задача 52468 ...
Условие
a) z² - 8iz - 15 = 0;
б) z³ + 8i = 0.
Решение
z^2-8iz-15=0
D=(-8i)^2-4*(-15)=-64+60=-4
sqrt(D)=sqrt(-4)=sqrt(4*(-1))=sqrt(4)*sqrt(-1)=2*i
x_(1)=[m]\frac{8i-2i}{2}[/m]=3i; x_(2)=[m]\frac{8i+2i}{2}[/m]=5i;
О т в е т. 3i;5i
б)
z=∛(-8i)
|-8i|=8
-8i=8*(cos(-π/2)+i* sin(-π/2))
Применяем формулу Муавра.
∛(-8i)=∛8*[m](cos\frac{-\frac{\pi}{2}+2 \pi k}{3}+isin\frac{-\frac{\pi}{2}+2\pi k}{3})[/m], k ∈ Z
при k=0
первый корень
z_(o)=2*[m](cos(-\frac{\pi}{6})+isin(-\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}-1[/m]
при k=1
второй корень
z_(1)=2*[m](cos\frac{-\frac{\pi}{2}+2\pi}{3}+isin(\frac{-\frac{\pi}{2}+2\pi}{3})=2\cdot (cos{\frac{3\pi}[6}+isin(\frac{3\pi}{6})=2i[/m]
при k=2
третий корень
z_(2)=2*[m](cos\frac{-\frac{\pi}{2}+4\pi}{3}+isin\frac{-\frac{\pi}{2}+4\pi}{3})=2\cdot (cos\frac{7\pi}{6}+isin\frac{7\pi}{6})=-\sqrt{3}-1[/m]
Корни расположены на окружности радиуса 2
Точки z_(o);z_(1);z_(2) делят окружность на три равные части, каждая по 120 градусов