Задача 52119 Найти общее решение дифференциального...

katerina_36pr

2020-06-03 19:23:08

Найти общее решение дифференциального уравнения

sova

2020-06-03 22:32:39

Это линейное уравнение первого порядка.

Решают методом Бернулли или методом вариации произвольных постоянных

Метод Бернулли.

Решение ищем в виде

y=u*v

y`=u`*v+u*v`

Подставляем в уравнение
u`*v+u*v`+[m]\frac{x}{2+x}[/m]u*v=x

u`*v+u*(v`+[m]\frac{x}{2+x}[/m]*v)=x

Выбираем функцию v так, чтобы

1)
v`+[m]\frac{x}{2+x}[/m]*v=0
тогда

2)u`*v+u*0=x


Решаем два уравнения с разделяющимися переменными

1)[m]\frac{dv}{dx}=-\frac{x}{2+x}[/m]*v=0 ⇒ [m]\frac{dv}{v}=-\frac{xdx}{2+x}[/m]

[m] ∫ \frac{dv}{v}=- ∫ \frac{xdx}{2+x}[/m]

Cправа неправильная дробь, выделяем целую часть:

[m] ∫ \frac{dv}{v}=- ∫ \frac{x+2-2dx}{2+x}[/m]


[m] ∫ \frac{dv}{v}=∫ \frac{2dx}{2+x}- ∫ dx[/m]

⇒ ln|v|=2ln|x+2|-x ⇒ применяем свойства логарифмов

[m]v=\frac{(x+2)^2}{e^{x}}[/m]



Подставляем v во второе уравнение и находим u

u`*[m]\frac{(x+2)^2}{e^{x}}[/m]=x

Уравнение с разделяющимися переменными:

[m]du=\frac{xe^{x}}{(x+2)^2}dx[/m]

[m] ∫ du= ∫ \frac{xe^{x}}{(x+2)^2}dx[/m]

Справа интегрируем по частям ?

Задача непростая . Условие верное?

Как звучит вопрос? Может быть применение рядов к решению диф уравнений?