Задача 52119 Найти общее решение дифференциального...

katerina_36pr

3 июня 2020 г. в 19:23

Найти общее решение дифференциального уравнения

sova

3 июня 2020 г. в 22:32

Это линейное уравнение первого порядка.

Решают методом Бернулли или методом вариации произвольных постоянных

Метод Бернулли.

Решение ищем в виде

y=u·v

y`=u`·v+u·v`

Подставляем в уравнение
u`·v+u·v`+[m]\frac{x}{2+x}[/m]u·v=x

u`·v+u·(v`+[m]\frac{x}{2+x}[/m]·v)=x

Выбираем функцию v так, чтобы

1)
v`+[m]\frac{x}{2+x}[/m]·v=0
тогда

2)u`·v+u·0=x


Решаем два уравнения с разделяющимися переменными

1)[m]\frac{dv}{dx}=-\frac{x}{2+x}[/m]·v=0 ⇒ [m]\frac{dv}{v}=-\frac{xdx}{2+x}[/m]

[m] ∫ \frac{dv}{v}=- ∫ \frac{xdx}{2+x}[/m]

Cправа неправильная дробь, выделяем целую часть:

[m] ∫ \frac{dv}{v}=- ∫ \frac{x+2-2dx}{2+x}[/m]


[m] ∫ \frac{dv}{v}=∫ \frac{2dx}{2+x}- ∫ dx[/m]

⇒ ln|v|=2ln|x+2|–x ⇒ применяем свойства логарифмов

[m]v=\frac{(x+2)^2}{e^{x}}[/m]



Подставляем v во второе уравнение и находим u

u`·[m]\frac{(x+2)^2}{e^{x}}[/m]=x

Уравнение с разделяющимися переменными:

[m]du=\frac{xe^{x}}{(x+2)^2}dx[/m]

[m] ∫ du= ∫ \frac{xe^{x}}{(x+2)^2}dx[/m]

Справа интегрируем по частям ?

Задача непростая . Условие верное?

Как звучит вопрос? Может быть применение рядов к решению диф уравнений?