Задача 8667 А) Докажите, что радиус окружности,...
Условие
Б) Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если радиусы окружностей, вписанных в треугольники, на которые он делится высотой, проведённой к гипотенузе, равны 4 и 5.
Решение
Пусть АВ=с; ВС=а; АС=b.
OM=OK=OT=r.
По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки, отрезки касательных равны.
ВТ=ВК=a-r;
AM=AK=b-r.
Гипотенуза АВ=АК+КВ=b-r+a-r=a+b-2r.
с=a+b-2r
r=(a+b-c)/2
Б)См. рис.2
Прямоугольные треугольники АКС; ВКС и АВС подобны между собой.
Значит их стороны и радиусы вписанных окружностей пропорциональны.
a/r₁=b/r₂=c/r
Запишем две пропорции:
1)a/4=c/r ⇒ ar=4c;
2)b/5=c/r ⇒ br=5c.
Возведем в квадрат
a²r²=16c²;
b²r²=25c².
Сложим
a²r²+b²r²=41c².
r²( a²+b²)=41c².
Так как треугольник прямоугольный и выполняется теорема Пифагора
a²+b²=c², то
r²=41
r=√41
Ответ. √41
