Задача 11226 Решите показательное уравнение...
Условие
3^(2x+1) + 3^(1-2x) - 7(3^x + 3^(-x))=4
математика 10-11 класс
1304
Все решения
3^x+3^(-x)=t
Возводим в квадрат
3^(2x)+2+3^(-2x)=t^2
3^(2x)+3^(-2x)=t^2-2
3*(3^(2x)+3^(-2x))=3t^2-6
3^(2x+1)+3^(1-2x))=3t^2-6
Уравнение принимает вид
3t^2-6-7t=4
3t^2-7t-10=0
D=49+120=169
t=(7-13)/6=-1 или t=(7+13)/6=10/3
Возвращаемся к переменой х:
3^x+3^(-x)=-1
Уравнение не имеет корней, так как показательная функция принимает только положительные значения,
3^x > 0 и 3^(-x)=(1/3)^x > 0
3^x+3^(-x)=10/3
Замена переменной
3^x=u
3^(-x)=1/u
u+(1/u)=10/3
3u^2-10u+3=0
D=100-36=64
u=(10-8)/6=1/3 или u=(10+8)/6=3
3^x=1/3 или 3^x=3
x=-1 или х=1
О т в е т. -1; 1