Задача 27067 4.58) 6sinx*cosx > sinx+cosx+1...
Условие
Решение
sinx + cosx = t
Возводим это равенство в квадрат
sin^2x + 2 sinx* cosx+ cos^2x=t^2
2sinx*cosx=t^2-1
Неравенство принимает вид:
3*(t^2-1) > t +1
или
3t^2 - t - 4 > 0
D=1-4*3*(-4)=49
t_(1)=(1-7)/6=-1 или t_(2)=(1+7)/6=4/3
sinx+cosx < -1 или sinx + cosx > 4/3
Применяем метод введения вспомогательного угла:
делим каждое неравенство на sqrt(2)
1)
(1/sqrt(2))sinx + (1/sqrt(2)) cosx < -1/sqrt(2)
sin(x+(Pi/4)) < -1/sqrt(2)
(-3Pi/4) + 2Pin < x+(Pi/4) < (-Pi/4) + 2Pin, n ∈ Z
(-3Pi/4)-(Pi/4) + 2Pin < x < (-Pi/4)-(Pi/4) + 2Pin, n ∈ Z
-Pi + 2Pin < x < (-Pi/2) + 2Pin, n ∈ Z
или
что то же самое
- Pi + 2Pi + 2Pin < x < (-Pi/2)+Pi + 2Pin, n ∈ Z
Pi + 2Pin < x < (Pi/2) + 2Pin, n ∈ Z
2)
1/sqrt(2) sinx + (1/sqrt(2)cosx > 2sqrt(2)/3
sin(x+(Pi/4)) > 2sqrt(2)/3
или
применяя формулы приведения и учитывая четность косинуса
sin((Pi/2)-x-(Pi/4)) > 2sqrt(2)/3
cos(x-(Pi/4)) > 2sqrt(2)/3
arccos( 2sqrt(2)/3)+ 2Pin < x -Pi/4 < Pi- arccos( 2sqrt(2)/3)+2Pin, n ∈Z
Pi/4 + arccos( 2sqrt(2)/3)+ 2Pin < x < (Pi/4)+Pi- arccos( 2sqrt(2)/3)+2Pin, n ∈Z
О т в е т.
Pi + 2Pin < x < (Pi/2) + 2Pin, n ∈ Z
Pi/4 + arccos( 2sqrt(2)/3)+ 2Pin < x < (Pi/4)+Pi- arccos( 2sqrt(2)/3)+2Pin, n ∈Z