Задача 48247 4y3y''=y4–1, y(0)=корень из 2, y'(0)=1...

vk213805901

24 апреля 2020 г. в 14:13

4y3y''=y4–1, y(0)=корень из 2, y'(0)=1 на 2 корень из 2.

sova

24 апреля 2020 г. в 14:25

★

Понижение степени:

y`(x)=z(y)

y``=z`(y)·y`(x)=z`(y)·z

подставляем в уравнение:
4y³·(z`(y)·z)=y⁴–1

и получаем уравнение первого порядка, неизвестной функцией является z(y)

так как z`(y)=dz/dy, то

4y³·(z·dz/dy)=y⁴–1 – уравнение с разделяющимися переменными

z·dz=(y⁴–1)dy/4y³

Интегрируем:

∫ zdz=(1/4) ∫ (y⁴–1)dy/y³

Cправа делим почленно на y³

z²/2=(1/4) ∫ (y⁴dy/y³)–(1/4) ∫ (dy/y³)

z²/2=(1/4) ∫ ydy–(1/4) ∫ y^–3dy

z²/2=(1/4) · (y²/2)–(1/4) ( y^–2/(–2) + c₁

⇒ z²=(1/4)y²+(1/4)·(1/y²)+C₁; C₁=2c₁

z=√(1/4)y²+(1/4)·(1/y²)+C₁

и возвращаемся к замене:

y`(x)=z(y)


y`(x)= √(1/4)y²+(1/4)·(1/y²)+C₁

y`=dy/dx

dy/dx=√(1/4)y²+(1/4)·(1/y²)+C₁

dy/√(1/4)y²+(1/4)·(1/y²)+C₁=dx

(1/4)y²+(1/4)·(1/y²)=((1/2)y+(1/2)·(1/y))²–1/2

dy/√((1/2)y+(1/4)·(1/y))²+C₁–(1/2)=dx

Интегрируем...
Но это не просто...


Возвращаюсь к условию

4y³· y``=y⁴–1

Если
u=y⁴–1
то
u`=4y<sup>3</sup>·y`

Уравнение принимает вид:

(u`·y`)·y``=u

y``=(y`)`

(u`·y`)·(y`)`=u



Может быть воспользоваться тем, что

y`<sub>x</sub>=1/(x`_y)