Задача 37872 Решить систему...
Условие
dx/dt=2x+y+2e^(t)
dy/dt=x+2y-3e^(4t)
Решение
{x`(t)=2x+y+2e^(t)
{y`(t)=x+2y-3e^(4t)
Выразим из первого уравнения y и подставим во второе уравнение:
{y=x`(t)-2x-2e^(t)
{(x`(t)-2x-2e^(t))`=x+2*(x`(t)-2x-2e^(t))-3e^(4t)
Решаем второе уравнение:
x``(t)-2-2e^(t)=x+2x`(t)-4x-4e^(t)-3e^(4t)
Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
x``-2x`+3x=-2e^(t)-3e^(4t)+2
Решаем однородное уравнение:
x``-2x`+3x=0
Cоставляем характеристическое уравнение:
k^2-2k+3=0
D=4-4*3=-8
k_(1) = - 2sqrt(2)* [b]i[/b]; k_(2) = 2sqrt(2)* [b]i[/b]
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
y=C_(1)cos(2sqrt(2))t +C_(2)sin(2sqrt(2)t)
Правая часть f(t)=f_(1)(t)+f_(2)t+f_(3)(t)
Находим три частных решения
[b]f_(1)(t)=-2e^(t)[/b]
y_(1 частное)= Ae^(t)
y`_(1 частное)=Ae^(t)
y``_(1 частное)=Ae^(t)
Подставляем в уравнение:
x``-2x`+3x=-2e^(t)
Ae^(t)-2Ae^(t)+3Ae^(t)=-2e^(t)
2А=-2
А=-1
[b]x_(1 частное)= - e^(t)[/b]
[b]f_(2)(t)=-3e^(4t)[/b]
x_(2 частное)= Вe^(4t)
x`_(1 частное)=4Вe^(4t)
x``_(1 частное)=16Вe^(4t)
Подставляем в уравнение:
x``-2x`+3x=-3e^(4t)
Вe^(4t)-2*4Вe^(4t)-3*16Вe^(4t)=-3e^(4t)
-55В=-3
В=3/55
[b]x_(2 частное)= (3/55) e^(4t)[/b]
f_(3)(t)=2
x_(3 частное)= M
x`_(1 частное)=M`=0
x``_(1 частное)=M``=0
Подставляем в уравнение:
x``-2x`+3x=2
3M=2
M=2/3
x(t)=C_(1)cos(2sqrt(2))t +C_(2)sin(2sqrt(2)t)-e^(t)+(3/55)e^(-4t)+(2/3)
Подставляем в первое уравнение
y=x`(t)-2x-2e^(t)
y=-2sqrt(2)C_(1)sin(2sqrt(2)t)+2sqrt(2)C_(2)cos(2sqrt(2)t)-e^(t)-(12/55)*e^(-4t)-2*(C_(1)cos(2sqrt(2))t +C_(2)sin(2sqrt(2)t)-e^(t)+(3/55)e^(-4t)+(2/3)) -2e^(t)
упрощаем:
y=
