Задача 38460 Решить дифференциальное...

vk247797756

2019-06-30 11:39:28

Решить дифференциальное уравнение:
y"-y'-y=x^3+6

sova

2019-06-30 12:30:30

★

Решаем однородное уравнение:
y``- y`- y=0

Составляем характеристическое уравнение
k^2- k -1 = 0
D=1-4*(-1)=5

k_(1)=(1 - sqrt(5))/2; k_(2)=(1+sqrt(5))/2
два действительных различных корня

Общее решение однородного уравнения пишем по правилу
у_(о)=C_(1)e^(k_(1)x)+C_(2)e^(k_(2)x)

Частное решение данного неоднородного уравнения ищем в виде,
похожем на правую часть.

Справа многочлен третьей степени, значит
у_(ч)=ax^3+bx^2+cx+d

y`_(ч)=3ax^2+2bx+c
y``_(ч)=6ax+2b

Подставляем в данное уравнение:

6ax+2b- (3ax^2+2bx+c)-(ax^3+bx^2+cx+d)=x^3+6;

приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях

-a =1 ⇒ a = - 1

- 3a - b =0⇒ b=-3a =3

6a - 2b - c = 0⇒ c=-12

2b - c - d = 6 ⇒ d=12


a = - 1
b = 3
c = - 12
d = 12

у_(ч)= - x^3+3x^2+6x+12

Общее решение данного неоднородного уравнения
-сумма у_(о) и у_(ч)

y=C_(1)e^(k_(1)x)+C_(2)e^(k_(2)x) -x^3+3x^2 +6x+12