Задача 29529 ...

slava191

9 сентября 2018 г. в 12:07

Около треугольника АВС описана окружность с диаметром AD = 2 . Найдите ВС , если АВ = 1 и ∠ BAD : ∠ CAD = 4:3. [9.31]

sova

10 сентября 2018 г. в 19:29

★

Δ АОВ – равносторонний:
AO=OB=R=1
AB=1 по условию
Значит, ∠ ∠ BAD =60 °, ∠ CAD= 45 °.

Δ AOC – равнобедренный, (AO=OC=R=1)
∠ CAD=45 °, Значит ∠ ACO =45 °.
AC=√2

Первый способ решения
По теореме косинусов
BC²=AB²+BC²–2·AB·BC·cos ∠ BAC.

∠ BAC=60 ° + 45 °=105 °

сos ∠ BAC=cos105 °= сos(60 °+ 45 °)=

=cos 60 °·cos 45 ° – sin 60 °· sin 45 ° =(√2/2)·(1–√3)/2

BC²=1+(√2)² –2·1·√2·(√2/2)·(1–√3)/2=

=1+2 –1+√3=2+√3

BC=√2+√3


Второй способ решения

По теореме синусов:

BC/sin∠ BAC=2R

sin∠ BAC=sin 105 °=sin(60 °+ 45 °)=

=sin 60 °·cos 45 ° +cos 60 °· sin 45 ° =
=(√2/2)·(√3+1)/2=√2·(√3–1)/4

BC=2R·sin105 ° = 2·(√2/2)·((√3+1)/2)=

=√2·(√3+1)/2=(√6+√2)/2

BC=(√6+√2)/2


Оба ответа равны между собой ( !!!)

√2+√3=(√6+√2)/2

Возводим в квадрат:

2+√3 =( 6+2√6·√2 + 2)/4 – верно

2+√3 = 2+√3

О т в е т. BC=(√6+√2)/2 или BC=√2+√3