Задача 10298 В треугольнике АВС ВА=8, ВС=7, угол...

slava191

01.10.2016

В треугольнике АВС ВА=8, ВС=7, угол B=120°. Вписанная в треугольник окружность w касается стороны АС в точке М.

а) Докажите, что АМ=ВС.

б) Найдите длину отрезка с концами на сторонах АВ и АС, перпендикулярного АВ и касающегося окружности w.

SOVA

02.10.2016

★

По теореме косинусов найдем АС.
АС^2=8^2+7^2-2•8•7• cos120°=169;
AC=13.
Р=8+7+13=28; р=14.
По формуле Герона
S=√14•(14-13)•(14-7)•(14-8)=14√3;
r=S/p=√3
По свойству касательной к окружности, проведенных из одной точки, отрезки касательных равны.
АМ=AD;
CF=CM;
BF=BD.
Рассмотрим четырехугольник BDOF:
∠D=∠F=90°;∠DBF=120°.
Δ DOB =ΔBOF
Пусть BF=x, тогда ВО=2х.
По теореме Пифагора
(2х)^2-x^2=(√3)^2;
3x^2=3
x=1
BF=BD=1
CF=7-1=6
CM=CF=6
AM=13-6=7
AM=BC=7.
б) Из треугольника АВС по теореме косинусов:
ВС^2=AB^2+AC^2-2•AB•AC•cos∠А
cos∠А=(64+169-49)/(2•8•13)=23/26.
По теореме синусов
ВС: sin∠А=AC: sin ∠B ⇒ sin∠А=7√3/26;
tg∠А=7√3/23.
РК - касательная к окружности w.
По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки:
КМ=КЕ;
РЕ=РD=r=√3.
АВ=АР+PD+DB ⇒ AP=8-√3-1=7-√3.
Из прямоугольного треугольника АРК:
РК=АР•tg∠А=(7-√3)•7√3/23.
О т в е т. б)(7-√3)•7√3/23.