Задача 37132 ...

nashipitsina

16 мая 2019 г. в 17:55

Вычислите интеграл
∫ ∫ (x² +y²)dxdy,
D
где область D ограничена кривыми x²+y²=1, x²+y²=9, x=0, y=x, x>0.

sova

16 мая 2019 г. в 18:06

Переход к полярным координатам
x= ρ cos φ
y= ρ sin φ

1 < ρ <3

π/4 < φ < π/2 cм. рис.

∫ ∫ _D(x²+y²)dxdy= ∫ ³₁( ∫ ^π/2_π/4 ρ ²· ρ d φ) d ρ =

= ∫ ³₁ ρ ³·( φ)| ^π/2_π/4 dρ =

= (π/4)· ( ρ ⁴/4)|³₁=(π/16)·(3⁴–1⁴)=

=(π/16)·(81–1)=80·(π/16)= 5π

РS.

Выбрала меньшую область, но в принципе и на рис. 2 область тоже удовлетворяет условию.

В этой области угол меняется от (–π/2) до (π/4)

Тогда (π/4)–(–π/2)=3π/4

и тогда ответ (3π/16)·80=15π