Задача 26162 log^2_x(x + 2) <= log^2_(x+2) x....

u9419239211

4 ноября 2018 г. в 00:00

log²_x(x + 2) <= log²_x+2 x.

SOVA

4 ноября 2018 г. в 00:00

ОДЗ:
{x > 0 ; x ≠ 1
{x+2 > 0; x+2 ≠ 1

x ∈ (0;1)U(1;+ ∞ )

log_x(x+2)=1/log_x+2x

Замена переменной

log_x(x+2)=t,
1/log_x+2x=1/t

t² ≤ 1/t²
(t⁴–1) /t² ≤ 0
(t–1)(t+1)(t²+1)/t² ≤ 0

_+_ [–1] _–___ (0) __–__ [1] __+__

–1 ≤ t < 0 или 0 < t ≤ 1

–1 ≤ log_x(x+2) < 0

или 0 < log_x(x+2) ≤ 1

1)–1 ≤ log_x(x+2) < 0
{ log_x(x+2) < 0
{ log_x(x+2) ≥ (–1)
–1=log_x(1/x)

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
{(x–1)(x+2–1) < 0 ⇒ x∈ (–1;1)
{(x–1)(x+2–(1/x) ≥ 0

Аналогично надо поступить и со вторым неравенством.
С учетом ОДЗ получить ответ