Задача 22198 logx+1 (x^3+3x^2+2x) < 2...
Условие
Решение
{(x^3+3x^2+2x) > 0 ⇒ x*(x+1)(x+2) > 0
{x+1 > 0 ⇒ в первом неравенстве х*(х+2) > 0
{(x+1)≠ 1⇒ x≠0
х ∈ (0;+бесконечность)
При х > 0
x+1 > 0 и х+2 > 0
можем применить формулу логарифма произведения
log_(x+1) (x^3+3x^2+2x) =log_(x+1) (x(x+1)(x+2))=
=log_(x+1)x+log_(x+1)(x+1)+log_(x+1)(x+2)=
log_(x+1)x+1+log_(x+1)(x+2)
Неравенство принимает вид
log_(x+1)x+1+log_(x+1)(x+2) < 2;
log_(x+1)x+log_(x+1)(x+2) < 1;
log_(x+1)(x*(x+2) < log_(x+1)(x+1)
Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
{(x+1-1)*(x*(x+2) - (x+1)) < 0 ⇒
x*(x^2+x-1) < 0
D=1+4=5
x1=(-1-sqrt(5))/2 < 0 и х2=(-1+sqrt(5))/2 > 0
(0) __-__ ((-1+sqrt(5))/2) __+___
О т в е т. (0; (-1+sqrt(5))/2)