Задача 35516 Найти указанные неопределенные...
Условие
Решение
Замена переменной:
3+lnx=u
d(3+lnx)=du
(3+lnx)`*dx=du
dx/x=du
∫ ∛(3+lnx)dx/x= ∫ ∛u du=табличный интеграл ∫x^(α)dx=x^(α +1)/(α+1) =
=u^((1/3)+1)/((1/3)+1)+ C=
=u^(4/3)/(4/3)+C= [b](3/4)∛(3+lnx)^4 + C[/b]
2)
По частям
u=ln^2x ⇒ du=2(lnx)*(1/x)dx
dv=sqrt(x)dx ⇒ v=x^(3/2)/(3/2)=(2/3) sqrt(x^3)
∫ sqrt(x)ln^2xdx=(2/3)sqrt(x^3)*ln^2x- ∫ (2/3)sqrt(x^3)* 2(lnx)*(1/x)dx=
= [b](2/3) sqrt(x^3)ln^22x[/b]- (4/3) ∫ sqrt(x)* (lnx)dx=
второй интеграл снова по частям:
u=lnx ⇒ du=(1/x)dx
dv=sqrt(x)dx ⇒ v=x^(3/2)/(3/2)=(2/3) sqrt(x^3)
= [b](2/3)sqrt(x^3)*ln^2x[/b]-(4/3)*((2/3)sqrt(x^3)*lnx - ∫ (2/3) sqrt(x^3)*(1/x)dx=
=[b](2/3)sqrt(x^3)*ln^2x[/b]-(8/9)*sqrt(x^3)*lnx -(2/3)* (2/3) sqrt(x^3)+ C
=[b](2/3)sqrt(x^3)*ln^2x[/b]-(8/9)*sqrt(x^3)*lnx -(4/9)* sqrt(x^3)+ C