Задача 49449 Найдите, пожалуйста, двойной интеграл!!!...

anastasi

2020-05-06 12:51:03

Найдите, пожалуйста, двойной интеграл!!! (Записан справа) Область D задана системой (слева).

sova

2020-05-06 13:06:39

★

Обобщенные полярные координаты
x=3*r*cos φ
y=4*r*sin φ ⇒ (x^2/9)+(y^2/16)=1 ⇒ r^2=1 ⇒ r=1

Якобиан
abr=[red]3*4*r[/red]

y=4sqrt(3)*x

4*r*sin φ =4*sqrt(3)*3*r*cos φ ⇒ tg φ =3sqrt(3) ⇒ φ =arctg 3sqrt(3)
y=-4x/sqrt(3)
4*r*sin φ =-4*3*r*cos φ/sqrt(3) ⇒ tg φ =-sqrt(3) ⇒ φ =2π/3


= ∫^(1)_(0) dr ∫ ^(2π/3)_(arctg3sqrt(3))(3*r*cos φ )^2*(4*r*sin φ )^2* ([red]12 r[/red])d φ =


=3^2*4^2*12 ∫^(1)_(0)r^5 dr ∫ ^(2π/3)_(arctg3sqrt(3))((1+cos 2φ )/2)*((1-cos2φ)/2 ) d φ =


=432∫^(1)_(0)r^5 dr ∫ ^(2π/3)_(arctg3sqrt(3))(1-cos^2 2φ )d φ =

=432∫^(1)_(0)r^5 dr ∫ ^(2π/3)_(arctg3sqrt(3))(sin^2 2φ )d φ =


=432∫^(1)_(0)r^5 dr ∫ ^(2π/3)_(arctg3sqrt(3))((1-cos4φ )/2)d φ =

=216*(r^6/6)|^(1)_(0) ( φ -(1/4)sin4 φ )| ^(2π/3)_(arctg3sqrt(3)) =...