Задача 49449 Найдите, пожалуйста, двойной интеграл!!!...

anastasi

6 мая 2020 г. в 12:51

Найдите, пожалуйста, двойной интеграл!!! (Записан справа) Область D задана системой (слева).

sova

6 мая 2020 г. в 13:06

★

Обобщенные полярные координаты
x=3·r·cos φ
y=4·r·sin φ ⇒ (x²/9)+(y²/16)=1 ⇒ r²=1 ⇒ r=1

Якобиан
abr=3·4·r

y=4√3·x

4·r·sin φ =4·√3·3·r·cos φ ⇒ tg φ =3√3 ⇒ φ =arctg 3√3
y=–4x/√3
4·r·sin φ =–4·3·r·cos φ/√3 ⇒ tg φ =–√3 ⇒ φ =2π/3


= ∫¹₀ dr ∫ ^2π/3_arctg3√3(3·r·cos φ )²·(4·r·sin φ )²· (12 r)d φ =


=3²·4²·12 ∫¹₀r⁵ dr ∫ ^2π/3_arctg3√3((1+cos 2φ )/2)·((1–cos2φ)/2 ) d φ =


=432∫¹₀r⁵ dr ∫ ^2π/3_arctg3√3(1–cos² 2φ )d φ =

=432∫¹₀r⁵ dr ∫ ^2π/3_arctg3√3(sin² 2φ )d φ =


=432∫¹₀r⁵ dr ∫ ^2π/3_arctg3√3((1–cos4φ )/2)d φ =

=216·(r⁶/6)|¹₀ ( φ –(1/4)sin4 φ )| ^2π/3_arctg3√3 =...