Задача 11195 Решить уравнение...
Условие
Решить уравнение (sqrt(9-11cos^2x+sinx)+sinx)*tgx=0
Решение
sqrt(-tgx)+1 > 0 при любом х.
Поэтому
1-sin2x-4cos^2x=0
sin^2x+cos^2x-2sinx*cosx-4cos^2x=0
sin^2x-2sinx*cosx-3cos^2x=0- однородное тригонометрическое уравнение второго порядка.
Делим на сos^2x≠0
tg^2x-2tgx-3=0
D=4+12=16
tgx=-1 или tgx=3 ( не удовлетворяет условию tgx ≤ 0)
x=(-π/4) + πk,k ∈Z
О т в е т. (-π/4) + πk,k ∈Z
2)
Произведение двух множителей равно 0 когда хотя бы один из них равен 0, а другой при этом не теряет смысла.
Пусть второй множитель
tgx=0 ⇒
{sin x=0;
{cosx≠0.
Но при sinx=0, тогда cosx=1 второе уравнение не имеет смысла
sqrt(9-11*1+0)- не существует корня из отрицательного числа
Пусть первый множитель равен 0
sqrt(9-11cos^2x+sinx)+sinx=0
cos^2x=1-sin^2x
sqrt(9-11(1-sin^2x)+sinx)=-sinx
Возводим в квадрат при условии, что выражение справа неотрицательно.
{-sinx≥
{11sin^2x+sinx-2=sin^2x
10sin^2x+sinx-2=0 - квадратное уравнение.
Замена переменной
t=sinx
10t^2+t-2=0
D=1+80=81