Задача 32389 Найти координаты проекции точки...

vk348596013

2018-12-24 16:04:04

Найти координаты проекции точки А=(-4,-2,3) на прямую,проходящую через точки В=(-1,-2,-3) и С=(-5,-3,-2).

sova

2018-12-24 18:42:19

Составим уравнение прямой ВС как прямой, проходящей через две точки:
(x+1)/(-4)=(y+2)/(-1)=(z+3)/1

Проводим плоскость через точку А перпендикулярно прямой ВС

Это значит, что направляющий вектор прямой является нормальным вектором плоскости.
vector {n}=(-4;-1;1)

Составляем уравнение плоскости, проходящей через точкy
A(-4;-2;3) с нормальным вектором vector{n}=(-4;-1;1)
-4*(х+4) -1*(y+2)+1*(z+3)=0
-4x-y+z-15=0
[b] 4x + y - z +15 =0 [/b]

Найдем точку пересечения прямой и плоскости
Запишем уравнение прямой в параметрическом виде:

((x+4)/(-4)=(y+2)/(-1)=(z+3)/1=t
x= - 4t - 4
y= - t - 2
z= t - 3
подставляем в уравнение плоскости

4*( -4t - 4) + (- t - 2) - (t - 3 ) + 15 =0

t=0

при t=0
x= - 4
y= - 2
z= - 3
M(-4 ;-2;-3) - проекция точки A на прямую

По свойству симметричных точек,
AМ=МA_(1)

Поэтому
х_(M)=(x_(A)+x_(A_(1)))/2 ⇒(-4+ x_(A_(1)))/2=-4 ⇒ x_(A_(1))= -4
y_(M)=(y_(A)+y_(A_(1)))/2 ⇒ y_(A_(1))=-2
z_(M)=(z_(A)+z_(A_(1)))/2 ⇒ z_(A_(1))=-9

О т в е т. A_(1)(-4 ;-2;-9)