Задача 51315 ...

vk169585692

22 мая 2020 г. в 19:36

Вычислить приближенные значения данных функций в точке (х₀, у₀), используя формулу Тейлора с п = 2.

11.7.6. f(x;y) = tg x · sin y, x₀ = 47°, y₀ = 28°.

sova

22 мая 2020 г. в 20:12

★

Все приближенные вычисления основаны на приближенном равенстве ( cм. приложение)

Слева –значение функции в "нехорошей" точке M(x_o+ Δx;y_o+ Δy) , справа–значение функции в "хорошей" точке M_o(x_o;y_o) и частные производные в "хорошей" точке M_o(x_o;y_o)


180 ° =π рад ⇒ 1 ° =(π/180) радиан

x_o=45 ° =(π/4)

x_o+ Δx=47 ° ⇒ Δх=2 ° =2·(π/180)=(π/90) радиан

y_o=30 ° = (π/6)

x_o+ Δx=28 ° ⇒ Δy=–2 ° =–2·(π/180)=(–π/90) радиан

df(x_o;y_o)=f`<sub>x</sub>(x<sub>o</sub>;y<sub>o</sub>) Δx+f`_y(x_o;y_o) Δy

f`<sub>x</sub>(x;y)=siny·(tgx)`_x=siny/cos²x

f`<sub>y</sub>(x;y)=tgx·(siny)`_y=tgx·cosy

f`<sub>x</sub>(x<sub>o</sub>;y<sub>o</sub>)= f`_x(π/4;π/6)= sin(π/6)/cos²(π/4)=1

f`<sub>y</sub>(x<sub>o</sub>;y<sub>o</sub>)= f`_y(π/4;π/6)= tg(π/4)·cos(π/6)=1·√3/2


df(x_o;y_o)=df(π/4;π/6)=1·(π/90)+(√3/2)·(–π/90) ≈ считаем и подставляем в формулу


d²(x_o;y_o)=f``<sub>xx</sub>(x<sub>o</sub>;y<sub>o</sub>) (Δx)<sup>2</sup>+2f``_xy(x_o;y_o) Δx· Δy+f``_xx(x_o;y_o) (Δx)²


f ``_xx(x;y)=(siny/cos²x)`_x=2siny·(sinx)/cos³x


f ``_xy(x;y)=(siny/cos²x)`_y=cosy/cos²x


f ``_yy(x;y)=(tgx·cosy)`_y=–tgx·siny




f ``<sub>xx</sub>(x<sub>o</sub>;y<sub>o</sub>)=f ``_xx(π/4;π/6)=2


f ``<sub>xy</sub>(x<sub>o</sub>;y<sub>o</sub>)=f ``_xy(π/4;π/6)=√3


f ``<sub>yy</sub>(x<sub>o</sub>;y<sub>o</sub>)=f ``_yy(π/4;π/6)=–1/2


d²(x_o;y_o)=d²(π/4;π/6)=2·(π/90)²+2√3·(π/90)·(–π/90)–(1/2)·(–π/90)² ≈ считаем и подставляем в формулу