Задача 33748 Решить логарифмическое неравенство....

vk160064007

2019-02-20 16:25:21

Решить логарифмическое неравенство.
номер 4

sova

2019-02-20 16:42:39

★

ОДЗ:
{7^(-x^2)-6>0 ⇒7^(-x^2) >6 ⇒ 7^(-x^2) > 7^(log_(7)6)
{7^(-x^2+9)-1>0⇒ 7^(-x^2+9) > 1 ⇒ 7^(-x^2+9) > 7^(0)
{(7^(3-x^2)-5)^2>0 ⇒ 7^(3-x^2) ≠ 5

7^(-x^2) > 7^(log_(7)6)⇒ - x^2 > log_(7)6 ⇒ x^2 < - log_(7)6 ⇒
x^2 < log_(7)1/6
[b]-sqrt(log_(7)(1/6)) < x < sqrt(log_(7)(1/6))[/b]

7^(-x^2+9) > 7^(0)⇒ -x^2+9 > 0 ⇒ x^2-9 < 0 ⇒ [b]- 3 < x < 3[/b]

7^(3-x^2) ≠ 5⇒ 3-x^2≠ log_(7)5 ⇒ 3-x^2≠ log_(7)5

3-log_(7)5 ≠ x^2 ⇒ x ≠ ± sqrt( log_(7)(343/5))

ОДЗ:[b](-sqrt(log_(7)(1/6)) ;sqrt(log_(7)(1/6)) )[/b]


Сумму логарифмом заменим логарифмом произведения
(при этом область допустимых значений уравнения расширится, могут появиться посторонние корни, но мы сделали оговорки в ОДЗ)

log_(2)(7^(-x^2)-6)^2 > log_(2)(7^(3-x^2)-5)^2

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, поэтому

(7^(-x^2)-6)^2 > (7^(3-x^2)-5)^2
или
(sqrt(x^2)=|x|)
|7^(-x^2)-6| > |7^(3-x^2)-5|

Так как согласно ОДЗ 7^(-x^2)-6 >0 ⇒|7^(-x^2)-6| = 7^(-x^2)-6

Пусть 7^(3-x^2)-5 >0
тогда
|7^(3-x^2)-5|=7^(3-x^2)-5
неравенство принимает вид:

7^(-x^2)-6 > 7^(3-x^2)-5

7^(-x^2)-6>7^(3)*7^(-x^2)-5;

342*7^(-x^2)+1 < 0
Неравенство не имеет решений, так как
7^(-x^2) > 0 и 342*7^(-x^2)+1 > 0 при любом х

Пусть 7^(3-x^2)-5 < 0
тогда
|7^(3-x^2)-5|= - 7^(3-x^2)+5
неравенство принимает вид

7^(-x^2)-6 > -7^(3-x^2)+5

344* 7^(-x^2)>11

7^(-x^2) > 11/344

7^(-x^2) > 7^(log_(7)(11/344))
Показательная функция с основанием 7 возрастает


-x^2 > log_(7) (11/344)

x^2 < - log_(7)(11/344)
x^2 < log_(7)(344/11)

- sqrt(log_(7)(344/11) < x < sqrt(log_(7)(344/11)

Осталось учесть ОДЗ [b](-sqrt(log_(7)(1/6)) ;sqrt(log_(7)(1/6)) )[/b]

344/11 > 1/6

О т в е т. (-sqrt(log_(7)(1/6)) ;sqrt(log_(7)(1/6)) )