Задача 45630 Из одной точки проведены к окружности...

slava191

2020-03-30 13:21:57

Из одной точки проведены к окружности две касательные. Длина одной из касательных равна 12.

а) Докажите, что длина второй касательной также равна 12.

б) Расстояние между точками касания равно 14,4. Найдите радиус окружности. [16п13]

sova

2020-03-30 14:00:27

★

а)
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания ( см. рис.2)
ОВ ⊥ АВ и OC ⊥ AC
OB=OC=R

Δ AOB и ΔAOC - прямоугольные,
Δ AOB= ΔAOC по двум катетам
OB=OC=R
АО - общий катет.

Из равенства треугольников следует равенство
AB=AC=12

б)

Δ АВС - равнобедренный:
АВ=АВ=12
ВС=14,4
Медиана AK - одновременно является и высотой

ВК=КС=7,2

Δ АВК ∼ Δ АОВ по двум углам: ∠ ВАК - общий, ∠ АКВ= ∠ АВО=90 °

По теореме Пифагора
AK^2=AB^2-BK^2=[b]12^2-7,2^2[/b]=(12-7,2)(12+7,2)=4,8*19,2=[b]9,6^2[/b]

( cчитаем рационально, калькуляторов нет)

[m]\frac{BK}{AK}=\frac{OB}{AB}[/m]

[m]OB=\frac{BK\cdot AB}{AK}=\frac{BK\cdot AB}{AK}=9[/m]

[red]Второй способ [/red]

Из прямоугольного треугольника ABK:
sin ∠ ВAK=BK/AB=7,2/12=0,6 ⇒ cos∠ BАK=0,8

tg∠ BАK=[m]\frac{3}{4}[/m]

Из прямоугольного треугольника AОВ:
tg∠ BAK=OB/AB

OB=ABtg∠ BAK=12[m]\frac{3}{4}=9[/m]

О т в е т. [b]9[/b]