Задача 9480 Найдите все значения параметра а, при...

ValeriyaSergeevna

21 июня 2016 г.

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет 3 корня

√x⁴–4x²+a² = x²+2x–a

SOVA

21 июня 2016 г.

★

ОДЗ: х⁴–4х²+a²≥ 0
Возводим обе части уравнения в квадрат при условии, что правая часть неотрицательна.
х²+2х+а≥0
х⁴–4х²+a²=х⁴+4х²+a²+2х³–2х²а–2ха;
2х³+(8–2а)х²–2ха=0;
2х(х²+(4–а)х–а)=0
х=0 или х²+(4–а)х–а=0
Чтобы данное уравнение имело три корня необходимо и достаточно чтобы второе уравнение имело два корня.
D=(4–a)²+4a=16–8a+a²+4a=a²–4a+16
Чтобы второе уравнение имело два корня необходимо и достаточно, чтобы дискриминант этого уравнения был положительным.
a²–4a+16>0 при любом а из области определения и из дополнительного условия, так как дискриминант квадратного трехчлена 16–4• 16=–48 <0; ветви графика направлены вверх, парабола не пересекает ось ох, расположена выше оси ох.
При любом а≤х²+2х и а²≥–х⁴+4х²