Задача 9480 Найдите все значения параметра а, при...
Условие
sqrt(x^4-4x^2+a^2) = x^2+2x-a
Решение
Возводим обе части уравнения в квадрат при условии, что правая часть неотрицательна.
х²+2х+а≥0
х⁴-4х²+a²=х⁴+4х²+a²+2х³-2х²а-2ха;
2х³+(8-2а)х²-2ха=0;
2х(х²+(4-а)х-а)=0
х=0 или х²+(4-а)х-а=0
Чтобы данное уравнение имело три корня необходимо и достаточно чтобы второе уравнение имело два корня.
D=(4-a)²+4a=16-8a+a²+4a=a²-4a+16
Чтобы второе уравнение имело два корня необходимо и достаточно, чтобы дискриминант этого уравнения был положительным.
a²-4a+16>0 при любом а из области определения и из дополнительного условия, так как дискриминант квадратного трехчлена 16-4• 16=-48 <0; ветви графика направлены вверх, парабола не пересекает ось ох, расположена выше оси ох.
При любом а≤х²+2х и а²≥-х⁴+4х²