Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 46142 В правильной шестиугольной пирамиде...

Условие

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S через сторону основания АВ проведена плоскость, делящая боковые ребра противоположной грани пополам.

а) Докажите, что плоскость сечения делит грань SCD на части, площади которых относятся как 1:2

б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если сторона основания равна 1, а высота пирамиды равна 3/2 [л14]

математика 10-11 класс 5148

Решение

[red]а)[/red]
По условию секущая плоскость делит боковые ребра противоположной грани SED [b]пополам.[/b]

Пусть M- середина SE, N- середина SD.
MN - средняя линия Δ SED.
MN || ED, ED || AB

[b]MN || AB[/b]

Cекущая плоскость пересекает плоскость основания АВСDEF по прямой АВ, значит АВ- [i]след секущей плоскости[/i].

Продолжаем сторону DC до пересечения с прямой АВ в точке L.
Соединяем L c N
Р.- точка пересечения LN с ребром SC..
Аналогично находим точку Q на ребре SF.

Шестиугольник AQMNPB - искомое сечение.

Cм выносной чертеж грани SCD.

LC=[b]CD[/b]
SN=ND ⇒ [b]CN[/b]- [b]средняя линия[/b] Δ SLD

В Δ LND проводим прямую CK через точку С параллельно LN.
CK [i]- средняя линия [/i] Δ LND
DК=КN=(1/2)ND=(1/4)SD ⇒ по т Фалеса СP:SP=1:2
[b]SP=(2/3)SС[/b]
[b]SN=(1/2)SD[/b]

S_( ΔSCD)=(1/2)SC*SD*sin ∠ CSD
S_( Δ)SPN=(1/2)SP*SN*sin ∠ CSD=(1/2)*(2/3)SC*(1/2)SD*sin ∠ CSD=
=(1/3)*(1/2)SC*SD*sin ∠ CSD=(1/3)S_( ΔSCD)

S_( Δ)SPN: S_( ΔSCD)=1:3 ⇒ S_( Δ)SPN:S_( Δ)CPND=1:2,
что и требовалось доказать.

[red]б)[/red]
По условию сторона основания равна [b]1[/b], а высота пирамиды равна [b]3/2[/b]

Пусть G- середина MN, H- середина АВ.

Из точки G проводим перпендикуляр GW к пл АВСDEF;

Этот перпендикуляр - средняя линия треугольника, образованного высотой SO и апофемой боковой грани
GW=SO/2=3/4

Апофема боковой грани по теореме Пифагора
(sqrt(3)/2)^2+(sqrt(3)/2)^2)=sqrt(12/4)=sqrt(3)

Точка W делит прямую делит высоту шестиугольника проведенную к АВ в точке H в отношении 3:1, считая от точки Н

Тогда

GH^2=AW^2+GW^2=((3/4)*sqrt(3))^2+(3/4)^2=36/16

GH=[b]3/2[/b]


Δ SQP ~ Δ SEC

SP:SC=PQ:FC
PQ[b]=4/3[/b]

Прямая PQ делит высоту GH на части 2:1 считая от точки H

S_(cечения)=S_(трапеции АВPQ)+S_(трапеции PQMN)

=[m]\frac{1+\frac{4}{3}}{2}\cdot1+\frac{\frac{4}{3}+\frac{4}{3}}{2}\cdot 0,5=\frac{11}{24}+\frac{7}{6}=\frac{39}{24}=\frac{13}{8}[/m]






О т в е т.[m]\frac{13}{8}[/m]

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК