Задача 29387 system{x+y=Pi/4;tgx+tgy=1}...

slava191

2018-08-27 18:37:22

system{x+y=Pi/4;tgx+tgy=1}

sova

2018-08-29 08:00:38

[b]ОДЗ:x ≠ (π/2)+πm, m ∈ Z; y ≠ (π/2)+πm, m ∈ Z[/b]

Применяем формулу суммы тангенсов:
system{x+y=π/4; sin(x+y)/(cosx*cosy) =1}

Учитывая, что sin (x+y)=sin(π/4)=sqrt(2)/2
и дробь равна 1, когда числитель равен знаменателю:
system(x+y=π/4; cosx*cosy=sqrt(2)/2}

Применяем формулу произведения косинусов:
system{x+y=π/4; (1/2)cos(x+y)+(1/2)cos(x-y)=sqrt(2)/2}

Учитывая, что cos(x+y)=cos(π/4)=sqrt(2)/2

system{x+y=π/4; cos(x-y)=sqrt(2)/2}

system{x+y=π/4; x-y= ± (π/4)+2πk, k ∈ Z}

Совокупность систем
1)system{x+y=π/4; x-y=(π/4)+2πk, k ∈ Z}
2)system{x+y=π/4; x-y=-(π/4)+2πn, n ∈ Z}

Cкладываем первое и второе уравнение каждой системы

1)system{x+y=π/4; 2x=(π/2)+2πk, k ∈ Z}
2)system{x+y=π/4; 2x=2πn, n ∈ Z}

1)system{y=(π/4)-x; x=(π/4)+πk, k ∈ Z}
2)system{y=(π/4)-x; x=πn, n ∈ Z}

1)system{y=-πk; x=(π/4)+πk, k ∈ Z}
2)system{y=(π/4)-πn; x=πn, n ∈ Z}

Найденные решения удовлетворяют [b] ОДЗ [/b]
О т в е т. ((π/4)+πk; -πk,k ∈ Z); (πn; ((π/4)-πn,n ∈ Z)