Задача 34079 В правильном тетраэдре MABC точка D -...

ladykaramel

2019-03-01 18:32:52

В правильном тетраэдре MABC точка D - середина ребра CM. Найдите угол между прямыми BC и AD

sova

2019-03-02 17:21:40

★

Проводим DK||CB
DK- средняя линия треугольника MBC.

∠ ADK - угол между AD и DK, а значит и между AD и BC.

Пусть ребро тетраэдра равно a.

AD=asqrt(3)/2 - высота равностороннего треугольника со стороной а
AD=AK=asqrt(3)/2
DK=a/2

По теореме косинусов из треугольника АDK:
AK^2=AD^2+DK^2-2AD*DK*cos ∠ ADK

cos ∠ ADK=(AD^2+DK^2-AK^2)/2AD*DK=DK/2AD=(a/2)/(a*sqrt(3)=sqrt(3)/6

∠ ADK=arccos(sqrt(3)/6)