Задача 34079 В правильном тетраэдре MABC точка D -...

ladykaramel

1 марта 2019 г. в 18:32

В правильном тетраэдре MABC точка D – середина ребра CM. Найдите угол между прямыми BC и AD

sova

2 марта 2019 г. в 17:21

★

Проводим DK||CB
DK– средняя линия треугольника MBC.

∠ ADK – угол между AD и DK, а значит и между AD и BC.

Пусть ребро тетраэдра равно a.

AD=a√3/2 – высота равностороннего треугольника со стороной а
AD=AK=a√3/2
DK=a/2

По теореме косинусов из треугольника АDK:
AK²=AD²+DK²–2AD·DK·cos ∠ ADK

cos ∠ ADK=(AD²+DK²–AK²)/2AD·DK=DK/2AD=(a/2)/(a·√3=√3/6

∠ ADK=arccos(√3/6)