S_(тела вр. Оx на отрезке [a;b])=2π∫ ^(b)_(a)f(x)*sqrt(1+(f`(x))^2)dx
Тангенсоида имеет бесконечный разрыв в точке х= π/2
Рассмотрим половину такой площади, от вращения на [0;π/2]
f`(x)=(tgx)`=1/cos^2x
1+(f`(x))^2=1+(1/cos^2x)^2
S=2π* ∫ ^(π/2)_(0)tgx*sqrt(1+(1/cos^2x)^2)dx=
= 2 π* ∫ ^(π/2)_(0)( sin x/cos x) *( sqrt((cos^4 x + 1)/cos^4 x)) dx =
= 2 π * ∫ ^(π/2)_(0) (sqrt(cos^4 x + 1)/cos^3 x) * sin x dx =
= 2 π * ∫ ^(π/2)_(0) (cos^4 x + 1)^(1/2)/cos^3 x d(-cos x) =
= - 2 π * ∫ ^(π/2)_(0) (cos^4 x + 1)^(1/2)/cos^3 x d(cos x) =
Замена переменной t = cos x
= -2 * π * ∫ ^(+∞ )_(1) sqrt (t^4 + 1)dt/t^3 =
= - 2 * π * ∫ ^(+∞)_(1) (t^4 + 1)^(1/2) * t^(-3) dt =
Замена переменной
t^(-4) + 1 = z^2, z = (1 + 1/t^4)^(1/2), t^4 = 1/(z^2 - 1), t = (z^2 - 1)^(-1/4),
dt = -1/4 * (z^2 - 1)^(-5/4) * 2 * z