Задача 19343 Найти все а, при каждом из которых...

slava191

11.11.2017

Найти все а, при каждом из которых уравнение

ln(xa^2+xa+2x-x^3) = ln(2x-x^2)

имеет ровно один корень.

SOVA

12.11.2017

★

В силу монотонности логарифмической функции
Если значения функции равны, то и аргументы равны.
xa^2+xa+2x-x^3=2x-x^2
Учитывая область определения логарифмической функции
2x-x^2 > 0 ⇒ x ∈ (0;2)

x^3-x^2-(a^2+a)x=0
x*(x^2-x-(a^2+a))=0
x=0 ∉ (0;2) значит не является корнем уравнения
Требование задачи можно переформулировать так:
При каком значении параметра а уравнение
x^2-x-(a^2+a)=0
имеет один корень
D=1+4a^2+4a=(2a+1)^2
Квадратное уравнение имеет один корень при а=-1/2

О т в е т. а=-1/2