Задача 9484 Решить уравнение 2cos(2x)+1 =...

slava191

21 июня 2016 г.

Решить уравнение 2cos(2x)+1 = √2·cos(x–π/2)

SOVA

21 июня 2016 г.

★

Так как косинус – четная функция
cos(x–π/2)=cos(π/2–x)
По формулам приведения:
cos(π/2–x)= sinx.
Так как
cos2x = 1 – 2sin²x, уравнение принимает вид
2•(1 – 2sin²x)+1 = √2• sinx
или
4sin²x + √2sinx–3=0
D=(√2)²–4•4•(–3)=2+48=50
sinx=(–√2–5√2)/8=–3√2/2 или sinx =(–√2+5√2)/8=√2/2
x = arcsin(√2/2)+2πn, n∈ Z; x=π–(arcsin(√2/2))+2πk, k∈ Z.
или
х= (π/4)+2πn, n∈ Z; x=(3π/4)+2πk, k∈ Z.
–3√2/4<1 – второе уравнение не имеет корней.
О т в е т. (π/4)+2πn;(3π/4)+2πk, n,k ∈ Z.