Задача 12692 ...

limon1717

1 апреля 2017 г. в 00:00

4sinx–2cos2x–1
Разделить на
cos2x+√3cosx–2
Равно 0

SOVA

1 апреля 2017 г. в 00:00

★

Дробь равна 0 тогда и только тогда, когда числитель равен 0, а знаменатель отличен от 0.
{4sinx–2cos2x–1=0;
{cos2x+√3cosx–2≠0.
Решаем второе неравенство:
так как cos2x=2cos²x–1, неравенство принимает вид:
2cos²x+√3cosx–3≠0.
замена
cosx=u
2u²+√3u–3≠0
D=3–4·2·(–3)=27
u_1,2≠(–√3± 3√3)/4
u₁≠–√3;u₂≠√3/2
cosx≠–√3 – неравенство верно при любом х, так как |cosx| ≤ 1.
cosx ≠√3/2 ⇒ х ≠ ± (π/6)+2πm, m∈Z

Решаем первое уравнение: так как сos2x=1–2sin²x, уравнение принимает вид:
4sin²x+4sinx–3=0;
замена переменной
sinx=t;
4t²+4t–3=0;
D=4²–4·4·(–3)=16+48=64.
t₁=–3/2; t₂=1/2
sinx=–3/2– уравнение не имеет корней, так как |sinx| ≤1.
sinx=1/2
x=(π/6)+2πk, k∈Z – не является корнем уравнения, так как х ≠ ± (π/6)+2πm, m∈Z
или x=(5π/6)+2πn, n∈Z

О т в е т. x=(5π/6)+2πn, n∈Z