Задача 12692 ...
Условие
Разделить на
cos2x+√3cosx-2
Равно 0
Решение
{4sinx-2cos2x-1=0;
{cos2x+sqrt(3)cosx-2≠0.
Решаем второе неравенство:
так как cos2x=2cos^2x-1, неравенство принимает вид:
2cos^2x+sqrt(3)cosx-3≠0.
замена
cosx=u
2u^2+sqrt(3)u-3≠0
D=3-4*2*(-3)=27
u_(1,2)≠(-sqrt(3)± 3sqrt(3))/4
u_(1)≠-sqrt(3);u_(2)≠sqrt(3)/2
cosx≠-sqrt(3) - неравенство верно при любом х, так как |cosx| меньше или равно 1.
cosx ≠sqrt(3)/2 ⇒ х ≠ ± (π/6)+2πm, m∈Z
Решаем первое уравнение: так как сos2x=1-2sin^2x, уравнение принимает вид:
4sin^2x+4sinx-3=0;
замена переменной
sinx=t;
4t^2+4t-3=0;
D=4^2-4*4*(-3)=16+48=64.
t_(1)=-3/2; t_(2)=1/2
sinx=-3/2- уравнение не имеет корней, так как |sinx| меньше или равно1.
sinx=1/2
x=(π/6)+2πk, k∈Z - не является корнем уравнения, так как х ≠ ± (π/6)+2πm, m∈Z
или x=(5π/6)+2πn, n∈Z
О т в е т. x=(5π/6)+2πn, n∈Z