Задача 14101 В конус...

u31132176233

02.03.2017

В конус вписан цилиндр так, что нижнее основание цилиндра лежит на основании конуса, а окружность верхнего основания принадлежит боковой поверхности конуса. Объем конуса равен 72. Найти наибольший объем вписанного цилиндра. 

SOVA

02.03.2017

★

Пусть R- радиус основания конуса, H- высота конуса,
r - радиус основания цилиндра, который равен радиусу меньшего конуса, отсекаемого верхним основанием цилиндра.
h- высота меньшего конуса.

Из подобия:
r/R=h/H.
Значит, высота цилиндра
H - h = r*H/R;
отсюда h = H - (r*H/R) = H*(R - r)/R

V(цилиндра) = πr^2*(H-h) = π *r^2*(H/R)*(R - r) =
=π *r^2*H - π r^3*(H/R)
V(r)=π *r^2*H - π r^3*(H/R)
Исследуем функцию V(r) на экстремум при условии, что
V(конуса)=(1/3)*π R^2*H;
72=(1/3)*π R^2*H ⇒ π R^2*H =216

Находим производную
V'(r) = 2π *H*r - 3π *H/R*r^2 = π *H*r*(2 - 3*r/R) = 0
V`(r)=0
2 - 3*r/R = 0;
r = 2/3*R ⇒ r^2=(4/9)R^2 и r^3*(H/R)=(8/27)R^3*(H/R)=
=(8/27)R^2H
Тогда

V(цилиндра) =π *r^2*H - π r^3*(H/R) =
=π *(4/9)R^2*H-π*(8/27)R^2*H
= 4/27*π *R^2*H = (4/27)*216 = 4*8 = 32