Задача 35435 ...

radostmalchikov

5 апреля 2019 г. в 21:05

20log₄x√x + 7log_16x x³ = 3log_x/2 x²

sova

5 апреля 2019 г. в 21:31

ОДЗ:
{x>0
{4x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1/4
{16x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1/16
{(x/2) ≠ 1 ⇒ x ≠ 2

x ∈ (0;1/16)U(1/16;1/4)U(1/4;2) U(2;+ ∞ )

Переходим к основанию 2.
В условиях ОДЗ

log_4x√x=log₂√x/log₂4x=

=(1/2)log₂|x|/(log₂4+log₂x)= x>0; |x|=x=

=(1/2)log₂x/(2+log₂x)


log_16xx³=3log₂x/(4+log₂x)

log_x/2x²=2log₂x/(log₂x–1)

Замена переменной:

log₂x=t

20·((1/2)t/(2+t)) + 7· (3t/(4+t)) =3·(2t/(t–1))

Так как 2+t≠ 0; 4+t≠ 0; t–1≠ 0 ( см. ОДЗ)

умножаем уравнение на произведение этих множителей:


5t·(5t²+3t–26)=0

t₁=0 или D=9+520=529; t₂=(–3–23)/10=–2,6 или t₃=(–3+23)/10=2

Обратный переход:

log₂x=0

x₁=1

log₂x=–2,6

x₂=2^–2,6

log₂x=2

x₃=4

О т в е т. 1; (1/2)^2,6= корень пятой степени из (1/2)¹3; 4